Mätosäkerhet, felberäkningar och modeller

Absolut och relativ osäkerhet

Vi vill kunna säga hur säkert ett mätvärde är och jämföra osäkerheten mellan olika mätningar. Ett mätvärde utan osäkerhet säger för lite. Skriv därför resultatet som x ± Δx, där Δx är den absoluta osäkerheten. Den relativa osäkerheten anger hur stor osäkerheten Δx är jämfört med själva mätvärdet x. Den anges ofta i procent. Samma Δx väger tyngre när mätvärdet är litet. Dra i reglaget och se procenten ändras.

Summa och skillnad: Δ adderas

Du vill veta massan av vattnet i en bägare. Du väger bägaren med vatten och sedan tom, och tar skillnaden. I värsta fall drar båda felen åt samma håll. Därför adderas de absoluta osäkerheterna, även när värdena subtraheras. Det gäller både summor och skillnader. En liten skillnad mellan två stora värden kan därför få en stor relativ osäkerhet.

Max/min-metoden: densiteten hos en metall

Du bestämmer densiteten hos en metallcylinder. Massan vägs till 54,2 ± 0,1 g. Volymen mäts med vattenförträngning i ett mätglas: 20,0 ± 0,5 cm³. Det största möjliga ρ får du med största massan och minsta volymen. Det minsta får du tvärtom. Osäkerheten är halva skillnaden mellan det största och det minsta värdet.

Produkt och kvot: relativa osäkerheter adderas

Max/min-metoden fungerar alltid, men det finns en snabbare regel. Vid multiplikation och division adderas de relativa osäkerheterna. För densiteten blir Δρ/ρ ≈ Δm/m + ΔV/V. Massan bidrar med 0,18 % och volymen med 2,5 %. Volymen står alltså för nästan hela osäkerheten. Vill du förbättra resultatet ska du mäta volymen noggrannare.

Potenser: pendeln och g

Med en pendel kan du bestämma tyngdaccelerationen: g = 4π² · L / T². Periodtiden står i kvadrat, så dess relativa osäkerhet räknas två gånger. Regeln blir Δg/g ≈ ΔL/L + 2 · ΔT/T. Tidtagning för hand har en osäkerhet på ungefär 0,2 s. Ta därför tid på många perioder och dela med antalet. Dra i reglaget och se Δg krympa.

Gittret: våglängden med osäkerhet

Ett gitter har 600 linjer per millimeter. Avståndet mellan linjerna är då d = 1/600 mm ≈ 1 667 nm. Laserljus böjs av, och första ordningens ljusfläck hamnar där d · sin θ = λ. Vinkeln mäts till 18,6 ± 0,3°. Räkna λ med den största och den minsta vinkeln. Då ser du hur mycket vinkelns osäkerhet betyder.

Felstaplar och lutningens osäkerhet

Ofta bestäms en storhet ur lutningen i ett diagram. En grupp tog tid på en enda period i taget, med osäkerheten 0,1 s. Punkterna i T²–L-diagrammet är simulerade och har felstaplar som visar osäkerheten. Den bästa linjen går genom origo och så nära punkterna som möjligt. Den brantaste och den flackaste linjen ska gå genom alla felstaplar. Halva skillnaden i lutning är lutningens osäkerhet.

Systematiska och slumpmässiga fel

Slumpmässiga fel sprider mätvärdena åt båda hållen. De minskar när du upprepar mätningen och tar medelvärdet. Systematiska fel flyttar alla värden åt samma håll. De syns inte i spridningen och försvinner inte med fler mätningar. Jämför därför med ett känt värde. Hamnar det långt utanför ditt intervall, leta efter ett systematiskt fel. Diagrammet visar simulerade resultat från fyra grupper.

När gäller modellen?

Pendelformeln T = 2π · √(L / g) är en modell som bygger på att utslaget är litet. Diagrammet visar simulerade mätningar av periodtiden för olika utslag, med felstaplar på ± 0,01 s. Upp till ungefär 10° når felstaplarna modellens linje. Vid större utslag är perioden tydligt längre än modellen säger. En modell gäller alltså inom ett område. Mätnoggrannheten avgör var gränsen går.

Påståenden, granskning och forskningsetik

Ett vetenskapligt påstående går att pröva med mätningar som andra kan upprepa. Två noggranna metoder att bestämma Hubblekonstanten H₀ ger olika värden, och intervallen överlappar inte. Då räcker slumpen inte som förklaring. Antingen finns ett okänt systematiskt fel, eller så saknas något i modellen. Forskare ska redovisa alla sina data, även de som inte passar. Att hitta på, förfalska eller plagiera resultat är oredlighet i forskning.

Sammanfattning

Ett mätresultat skrivs x ± Δx, där Δx är den absoluta osäkerheten. Den relativa osäkerheten Δx / x anges ofta i procent och gör olika mätningar jämförbara. Avrunda osäkerheten till en, högst två, värdesiffror och mätvärdet till samma decimal.

Max/min-metoden ger osäkerheten i ett beräknat resultat: räkna det största och det minsta möjliga värdet och ta halva skillnaden. Som snabbregel adderas de absoluta osäkerheterna vid summor och skillnader, och de relativa vid produkter och kvoter. En storhet i kvadrat räknas två gånger, som T i g = 4π² · L / T².

När en storhet bestäms ur en lutning ritas felstaplar. Den brantaste och den flackaste linjen som går genom alla felstaplar ger lutningens osäkerhet: Δk = (kₘₐₓ − kₘᵢₙ) / 2. Slumpmässiga fel sprider värdena och minskar med fler mätningar. Systematiska fel flyttar alla värden åt samma håll och syns först vid en jämförelse med ett känt värde.

En modell gäller inom ett område. Pendelformeln förutsätter små utslag, och Newtons mekanik farter långt under ljusets. Ett vetenskapligt påstående går att pröva med mätningar som andra kan upprepa. När två noggranna metoder inte stämmer, som för Hubblekonstanten, letar forskare efter systematiska fel eller brister i modellen. Fabricering, förfalskning och plagiering är oredlighet i forskning.

En metallcylinder väger 54,2 ± 0,1 g och har volymen 20,0 ± 0,5 cm³. ρ = 54,2 / 20,0 = 2,71 g/cm³. ρₘₐₓ = 54,3 / 19,5 ≈ 2,785 och ρₘᵢₙ = 54,1 / 20,5 ≈ 2,639 g/cm³. Δρ = (2,785 − 2,639) / 2 ≈ 0,07 g/cm³, så ρ = 2,71 ± 0,07 g/cm³.

Källor

1. 1.3 Accuracy, Precision, and Significant Figures (noggrannhet och precision, osäkerhet i procent, värdesiffror vid beräkningar), OpenStax College Physics 2e
2. 1.6 Significant Figures (osäkerhet vid mätningar och hur antalet värdesiffror följer med i beräkningar), OpenStax University Physics Volume 1
3. 16.4 The Simple Pendulum (T = 2π√(L/g) gäller för små utslag), OpenStax College Physics 2e
4. 27.4 Multiple Slit Diffraction (gitterformeln d · sin θ = m · λ), OpenStax College Physics 2e
5. Mätosäkerhet (ett mätresultat anges med en uppskattning av hur osäkert det är), Nationalencyklopedin
6. Mätfel (skillnaden mellan mätvärdet och det sanna värdet, systematiska och slumpmässiga fel), Nationalencyklopedin
7. Modell (en förenklad beskrivning av verkligheten), Nationalencyklopedin
8. Pseudovetenskap (påståenden som ger sken av att vara vetenskapliga utan att kunna prövas), Nationalencyklopedin
9. Uncertainty of Measurement Results: Basic definitions (standardosäkerhet och hur osäkerheter kombineras), NIST
10. JCGM Publications: Guides in metrology (GUM, den internationella guiden för att ange mätosäkerhet), BIPM
11. OPERA experiment reports anomaly in flight time of neutrinos (60 ns för tidigt över 730 km; 2012 en misstänkt fiberkontakt i tidmätningen, och nya mätningar som stämde med ljusets fart), CERN
12. Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters (H₀ = 67,4 ± 0,5 km/s/Mpc ur bakgrundsstrålningen), arXiv
13. A Comprehensive Measurement of the Local Value of the Hubble Constant (H₀ = 73,04 ± 1,04 km/s/Mpc ur cepheider och supernovor), arXiv
14. Lag (2019:504) om ansvar för god forskningssed och prövning av oredlighet i forskning (oredlighet är fabricering, förfalskning eller plagiering), Sveriges riksdag
15. God forskningssed (Vetenskapsrådets vägledning om etik i forskning), Vetenskapsrådet
16. Mätosäkerhet (osäkerheten anges tillsammans med mätvärdet), Wikipedia på svenska
17. Jan Hendrik Schön (fysiker som förfalskade forskningsresultat vid Bell Labs), Wikipedia på svenska
18. Ämnesplan i fysik, Gy25, Skolverket