Centralrörelse och gravitation

Periodtid och fart

Vi vill kunna räkna ut hur fort en stol i en karusell rör sig. En kropp som går runt i en cirkel med konstant fart gör en likformig cirkelrörelse. Farten anger hur lång sträcka kroppen hinner längs cirkeln varje sekund. Tiden för ett varv kallas periodtiden T. Frekvensen f = 1 / T är antalet varv per sekund. På ett varv går kroppen cirkelns omkrets, 2π · r. Farten blir därför v = 2π · r / T. Ändra periodtiden och se hur farten ändras.

Hastigheten pekar längs tangenten

Farten kan vara konstant, men hastighetens riktning ändras hela tiden. Hastigheten pekar alltid längs tangenten till cirkeln. Något måste hela tiden vrida hastigheten, annars fortsätter kroppen rakt fram. Här är det snöret som drar stenen in mot mitten. Släpp snöret och se vart stenen tar vägen.

Centripetalacceleration: a = v² / r

En hastighet som byter riktning ändras, och då finns en acceleration. Vid likformig cirkelrörelse pekar accelerationen in mot medelpunkten. Den kallas centripetalacceleration och är a = v² / r. Dubbla farten ger fyra gånger så stor acceleration. En snävare kurva, med mindre radie, ger också större acceleration. Ändra farten och jämför pilarna.

Kraften mot mitten är resultanten

Enligt Newtons andra lag kräver accelerationen en resulterande kraft åt samma håll. Den kallas centripetalkraft och är F = m · v² / r. Centripetalkraften är ingen extra kraft. Den är summan av de verkliga krafterna, här snörets spännkraft. Ändra massan eller farten och se hur stor kraft snöret måste ge.

Bilen i kurvan: räcker friktionen?

I en plan kurva är det friktionen som ger bilen centripetalkraften. Friktionen kan som mest bli μ · m · g. Bilen klarar kurvan så länge m · v² / r är mindre än så. Massan finns på båda sidor och tar ut sig, så högsta farten blir v = √(μ · g · r). Öka farten tills friktionen inte räcker.

Doserad kurva

En kurva kan luta inåt. Då lutar också normalkraften inåt mot kurvans medelpunkt. Normalkraften och tyngdkraften kan då ge en vågrät resultant in mot mitten. Lodrätt gäller N · cos θ = m · g, och vågrätt N · sin θ = m · v² / r. Kvoten ger tan θ = v² / (r · g), en fart som inte kräver friktion alls. Ändra lutningen och se hur den farten ändras.

Loopen: lodrät cirkelrörelse

I en loop går vagnen i en lodrät cirkel. Högst upp pekar både tyngdkraften och normalkraften från banan nedåt, in mot mitten. Deras summa är centripetalkraften: m · g + N = m · v² / r. Går vagnen långsammare blir N mindre. Vid den lägsta farten är N = 0, och då räcker tyngdkraften ensam: v = √(g · r). Sänk farten och se hur N krymper.

Newtons gravitationslag

Alla massor drar i varandra. Newtons gravitationslag säger att kraften är F = G · m₁ · m₂ / r². Kraften är lika stor på båda kropparna, men motsatt riktad. Dubbla avståndet ger en fjärdedel så stor kraft. G är mycket liten, så kraften märks bara när minst en massa är enorm. Ändra avståndet mellan jorden och månen.

Satelliten faller runt jorden

Newton tänkte sig en kanon på ett mycket högt berg. En långsam kula faller ner en bit bort. En snabbare kula landar längre bort, eftersom jordytan kröker sig under den. Vid rätt fart faller kulan lika mycket som ytan kröker sig, och den kommer aldrig ner. Tyngdkraften ger då centripetalkraften: G · M · m / r² = m · v² / r. Vi vill få v ensamt. Dividera båda leden med m och multiplicera båda med r: G · M / r = v². Dra roten ur båda leden: banfarten är v = √(G · M / r).

Geostationär bana och tyngdlöshet

Ju högre upp satelliten går, desto längre blir periodtiden. På ungefär 35 800 km höjd över ekvatorn tar ett varv lika lång tid som ett varv för jorden, 23 h 56 min. Satelliten går åt samma håll som jorden roterar. Satelliten står då still över samma punkt, och kallas geostationär. Astronauterna på en rymdstation svävar, fast tyngdkraften där är nästan lika stark som här. De faller fritt tillsammans med stationen. Flytta satelliten tills den följer punkten på jorden.

Sammanfattning

Vid likformig cirkelrörelse är farten konstant men riktningen ändras hela tiden. Hastigheten pekar längs tangenten. Ett varv tar periodtiden T, så farten är v = 2π · r / T, och frekvensen är f = 1 / T.

En hastighet som byter riktning ger en acceleration in mot medelpunkten, a = v² / r. Enligt Newtons andra lag kräver den en resulterande kraft åt samma håll: F = m · v² / r. Centripetalkraften är ingen extra kraft, utan summan av verkliga krafter som friktion, spännkraft, normalkraft eller gravitation.

I en plan kurva ger friktionen centripetalkraften, och högsta farten blir v = √(μ · g · r), oberoende av massan. I en doserad kurva lutar normalkraften inåt, och vid farten där tan θ = v² / (r · g) behövs ingen friktion. Högst upp i en loop gäller m · g + N = m · v² / r, så lägsta farten är √(g · r).

Två massor drar i varandra med F = G · m₁ · m₂ / r², där G = 6,67 · 10⁻¹¹ N·m²/kg². För en satellit i cirkelbana är gravitationen centripetalkraften, vilket ger v = √(G · M / r). En geostationär satellit går ett varv på samma tid som jorden roterar ett varv, 23 h 56 min, ungefär 35 800 km över ekvatorn. Astronauter svävar för att de faller fritt tillsammans med sin farkost, inte för att tyngdkraften saknas.

En bil kör med 20 m/s genom en plan kurva med radien 80 m. Centripetalaccelerationen är 20² / 80 = 5,0 m/s². Bilen har massan 1 200 kg, så friktionen från vägen måste vara 1 200 · 5,0 = 6 000 N in mot kurvans medelpunkt.

Källor

1. 6.1 Rotation Angle and Angular Velocity (periodtid, fart och varv i cirkelrörelse), OpenStax College Physics 2e
2. 6.2 Centripetal Acceleration (a = v² / r, riktad mot medelpunkten), OpenStax College Physics 2e
3. 6.3 Centripetal Force (F = m · v² / r som resultant, friktion i kurvor och doserade kurvor), OpenStax College Physics 2e
4. 6.4 Fictitious Forces and Non-inertial Frames (centrifugalkraften är en skenkraft), OpenStax College Physics 2e
5. 6.5 Newton’s Universal Law of Gravitation (F = G · m₁ · m₂ / r² och tyngdlöshet i fritt fall), OpenStax College Physics 2e
6. 6.6 Satellites and Kepler’s Laws (satelliter i cirkelbana, periodtid och radie), OpenStax College Physics 2e
7. 13.4 Satellite Orbits and Energy (banfarten v = √(G · M / r) och Newtons kanon), OpenStax University Physics Volume 1
8. Centralrörelse (rörelse under en kraft riktad mot en fast punkt), Nationalencyklopedin
9. Centripetalkraft (kraften mot banans krökningscentrum), Nationalencyklopedin
10. Centrifugalkraft (skenkraft i ett roterande system), Nationalencyklopedin
11. Newtons gravitationslag (kraften mellan två massor), Nationalencyklopedin
12. Geostationär bana (satelliten står still över en punkt på ekvatorn), Nationalencyklopedin
13. Tyngdlöshet (tillstånd vid fritt fall), Nationalencyklopedin
14. Types of orbits (geostationära satelliter på 35 786 km höjd med ungefär 3 km/s), ESA
15. Newtonian constant of gravitation G (6,674 · 10⁻¹¹ N·m²/kg²), NIST
16. Centripetalkraft, Wikipedia på svenska
17. Geostationär bana, Wikipedia på svenska
18. Ämnesplan i fysik, Gy25, Skolverket