Kaströrelse

Två rörelser på en gång

Vi vill förstå hur en kastad boll rör sig, och varför den faller lika fort som en som bara släpps. En boll som kastas vågrätt rör sig både framåt och nedåt. De två rörelserna påverkar inte varandra. Tyngdkraften drar bara nedåt, så den ändrar bara den lodräta rörelsen. Lodrätt faller bollen därför precis som en boll som bara släpps. Båda når marken samtidigt, hur hårt den första än kastas. Fallhöjden anger hur långt bollen har fallit lodrätt sedan kastet. Efter tiden t är den h = g · t² / 2.

Vågrätt: konstant fart

Utan luftmotstånd verkar ingen kraft vågrätt på bollen. Den vågräta hastigheten vx är därför konstant under hela kastet. Bollen flyttar sig lika långt framåt varje sekund. Den vågräta sträckan blir x = vx · t. Se hur skuggan på marken glider fram med jämn fart. Pilarna för vx är lika långa i varje bild.

Lodrätt: som ett kast rakt upp

Kastas bollen snett uppåt har den också en lodrät starthastighet v₀y. Lodrätt rör den sig precis som en boll som kastas rakt upp med farten v₀y. Den bromsas av g på väg upp och faller sedan tillbaka. Höjden över startpunkten är y = v₀y · t − g · t² / 2. Följ skuggan på y-axeln: den åker upp och ner som i ett lodrätt kast.

Dela upp utgångsfarten

Utgångshastigheten v₀ är en vektor som bildar vinkeln α med marken. Dela upp den i en vågrät och en lodrät komposant. Tänk dig en rätvinklig triangel med v₀ som hypotenusa. Den vågräta kateten är vx = v₀ · cos α. Den lodräta kateten är v₀y = v₀ · sin α. Ändra vinkeln och se hur komposanterna byter storlek.

Högsta punkten

På väg upp minskar den lodräta farten med 9,82 m/s varje sekund. I högsta punkten är vy = 0. Då finns bara den vågräta hastigheten kvar. Tiden dit är t = v₀y / g. Den tidlösa formeln med slutfarten noll ger stighöjden H = v₀y² / (2 · g). Den vågräta farten påverkar inte hur högt bollen når.

Kastvidden och 45°

Från och till samma höjd tar kastet dubbelt så lång tid som vägen upp: t = 2 · v₀y / g. Kastvidden är vx gånger den tiden. Med sambandet sin 2α = 2 · sin α · cos α blir R = v₀² · sin(2α) / g. Utan luftmotstånd och med samma start- och landningshöjd ger 45° längst kast, eftersom sin 90° = 1. Vinklar lika långt från 45°, som 30° och 60°, ger samma kastvidd. Prova med reglaget.

Hastigheten vid landningen

När bollen landar har den både en vågrät och en lodrät komposant. Den vågräta är fortfarande v₀ · cos α. Den lodräta får du ur vy = v₀y − g · t. Farten är hastighetsvektorns längd: v = √(vx² + vy²). Riktningen får du ur tan β = vy / vx, med beloppet av vy. Vinkeln β räknas mot det vågräta.

Luftmotstånd: modellens gräns

Parabeln bygger på att bara tyngdkraften verkar. I verkligheten bromsar luften bollen. Luftmotståndet växer ungefär som F = k · v², där k beror på luftens densitet och bollens form och storlek. Med luftmotstånd blir kastet kortare och banan brantare på vägen ner. Bästa kastvinkeln blir då mindre än 45°. Modellen utan luft fungerar när luftmotståndet är litet jämfört med tyngden.

Simulera i steg om Δt

Med luftmotstånd finns ingen enkel formel för banan. Då kan en dator räkna kastet i små tidssteg Δt. I varje steg räknar den ut accelerationen ur krafterna. Ny hastighet: v₂ = v₁ + a · Δt. Ny position: den gamla plus v₂ · Δt. Mindre Δt ger en bana närmare den verkliga, men kräver fler steg.

Sammanfattning

Ett kast består av två rörelser som inte påverkar varandra. Vågrätt verkar ingen kraft om luftmotståndet försummas, så vx = v₀ · cos α är konstant och x = vx · t. Lodrätt verkar tyngdkraften, så bollen rör sig som i ett lodrätt kast. Med v₀y = v₀ · sin α blir höjden y = v₀y · t − g · t² / 2.

En boll som kastas vågrätt faller lika snabbt som en boll som bara släpps. Falltiden t = √(2h / g) beror bara på höjden. I högsta punkten är vy = 0, så stighöjden blir H = v₀y² / (2g). Utan luftmotstånd, från och till samma höjd, är kastvidden R = v₀² · sin(2α) / g. Den är då störst vid 45°.

Hastigheten är en vektor. Farten får du med Pythagoras sats, v = √(vx² + vy²), och riktningen ur tan β = vy / vx. Landar bollen på samma höjd som den kastades från, och luftmotståndet försummas, är farten lika stor som utgångsfarten.

Parabeln är en modell. Luftmotståndet, ungefär F = k · v², gör kastet kortare och banan brantare på vägen ner, och bästa vinkeln blir mindre än 45°. Med luftmotstånd räknar man banan numeriskt, i små tidssteg Δt. I varje steg blir ny hastighet v + a · Δt och ny position den gamla plus v · Δt.

En boll kastas från marken med 15 m/s i vinkeln 35°. Komposanterna är vx = 15 · cos 35° ≈ 12,3 m/s och v₀y = 15 · sin 35° ≈ 8,6 m/s. Stighöjden blir 8,6² / (2 · 9,82) ≈ 3,8 m och kastvidden 15² · sin 70° / 9,82 ≈ 21,5 m.

Källor

1. 3.3 Vector Addition and Subtraction: Analytical Methods (komposanter med cos och sin, fart med Pythagoras sats), OpenStax College Physics 2e
2. 3.4 Projectile Motion (vågrät och lodrät rörelse var för sig, stighöjd och kastvidd), OpenStax College Physics 2e
3. 4.3 Projectile Motion (R = v₀² · sin 2θ / g och att 45° ger längst kast utan luft), OpenStax University Physics Volume 1
4. 5.2 Drag Forces (luftmotståndet växer ungefär med farten i kvadrat), OpenStax College Physics 2e
5. Kaströrelse (banan är en parabel om luftmotståndet försummas), Nationalencyklopedin
6. Kastbana (banan för ett kastat föremål), Nationalencyklopedin
7. Luftmotstånd (kraft från luften som bromsar rörelsen), Nationalencyklopedin
8. Eulers metod (numerisk lösning i små steg), Nationalencyklopedin
9. Drag of a Sphere (luftmotståndet beror på densitet, fart i kvadrat, area och en koefficient), NASA Glenn Research Center
10. Kaströrelse, Wikipedia på svenska
11. Ämnesplan i fysik, Gy25, Skolverket