Harmonisk svängning

Jämviktsläge och återförande kraft

Vi vill förstå vilken kraft som får en vikt i en fjäder att svänga. En vikt som hänger still i en fjäder är i sitt jämviktsläge. Där tar fjäderkraften och tyngden ut varandra. Drar du vikten en sträcka x därifrån uppstår en resulterande kraft. Den pekar tillbaka mot jämviktsläget och kallas återförande kraft. Tyngden är densamma, men fjäderkraften ändras med k · x enligt Hookes lag. Därför blir den resulterande kraften F = −k · x. Minustecknet betyder att kraften är motriktad utslaget.

Släpp vikten: harmonisk svängning

Släpp vikten, så drar den återförande kraften den mot jämviktsläget. Där är kraften noll, men vikten har fart och fortsätter förbi. På andra sidan bromsar kraften vikten tills den vänder. En kraft som är proportionell mot utslaget och motriktad ger en harmonisk svängning. Grafen bredvid ritar utslaget x medan tiden går.

Amplitud, period och frekvens

Amplituden A är det största utslaget från jämviktsläget. Perioden T är tiden för en hel svängning, till exempel från en topp till nästa. Frekvensen f är antalet svängningar per sekund. Frekvensen är ett delat med perioden: f = 1 / T. Enheten för frekvens är hertz, Hz, alltså 1/s.

Fjäderpendelns period

En vikt i en fjäder kallas fjäderpendel. Perioden är T = 2π · √(m / k). Större massa ger längre period, eftersom vikten blir trögare. Styvare fjäder ger kortare period, eftersom kraften blir större. Amplituden finns inte med: stora och små utslag tar lika lång tid. Ändra m och k och se hur perioden ändras.

Den enkla pendeln

En enkel pendel är en liten tung kula i en lätt tråd. För små utslag svänger den harmoniskt med perioden T = 2π · √(l / g). Längre tråd ger längre period. Massan finns inte med i formeln. En tyngre kula får större tyngd, men också större tröghet, och de tar ut varandra. Pröva att ändra längden och massan.

Små vinklar: en modell med gränser

Den återförande kraften på pendeln är m · g · sin θ, längs banan. För små vinklar är sin θ nästan lika med θ, räknat i radianer. Då blir kraften proportionell mot utslaget, och svängningen harmonisk. Vid större vinklar håller inte modellen, och perioden blir längre än formeln säger. Vid 10° är felet ungefär 0,2 %, vid 60° ungefär 7 %. Öka startvinkeln och jämför kurvorna.

x–t-grafen är en sinuskurva

Börja ta tiden när vikten passerar jämviktsläget på väg uppåt. Då blir grafen en sinuskurva: x = A · sin(2π · f · t). Vinkeln 2π · f · t räknas i radianer. Efter en hel period har vinkeln ökat med 2π, och kurvan upprepar sig. Farten är störst där kurvan är brantast, i jämviktsläget. Den största farten är v = 2π · f · A.

Energin byter form

I vändlägena står vikten still, så all energi är lägesenergi. I jämviktsläget är all energi rörelseenergi. Lägesenergin räknad från jämviktsläget är Eₚ = k · x² / 2. Utan friktion är summan konstant: E = k · A² / 2. Energin pendlar mellan de två formerna två gånger per period.

Dämpning

I verkligheten finns alltid friktion och luftmotstånd. De omvandlar svängningsenergi till inre energi, så amplituden minskar. Det kallas dämpning. Vid svag dämpning är perioden nästan densamma som utan dämpning. Stötdämparna i en bil ger stark dämpning, så att bilen inte gungar länge efter ett gupp. Jämför staplarna med och utan dämpning.

Resonans: en förhandstitt

Varje svängande system har en egenfrekvens f₀ = 1 / T. Knuffar du det i takt med egenfrekvensen tillförs energi vid varje sväng. Då växer amplituden kraftigt, och det kallas resonans. Knuffar du i fel takt motverkar knuffarna ibland rörelsen, och utslaget blir litet. Ändra handens frekvens och leta upp resonansen. Mer om resonans kommer i modulen ”Stående vågor, resonans och akustik”.

Sammanfattning

En vikt i en fjäder har ett jämviktsläge där krafterna tar ut varandra. Dras vikten sträckan x därifrån verkar en återförande kraft F = −k · x, riktad mot jämviktsläget. En sådan kraft ger en harmonisk svängning. Utslaget som funktion av tiden blir en sinuskurva: x = A · sin(2π · f · t).

Amplituden A är det största utslaget, perioden T tiden för en hel svängning och frekvensen f = 1 / T. En fjäderpendel har T = 2π · √(m / k). En enkel pendel har T = 2π · √(l / g), men bara för små vinklar, där sin θ ≈ θ. I båda fallen beror perioden inte på amplituden.

Under svängningen byter energin form. I vändlägena är all energi lägesenergi, Eₚ = k · x² / 2. I jämviktsläget är all energi rörelseenergi, och farten är störst: v = 2π · f · A. Utan friktion är totalenergin konstant: E = k · A² / 2.

Friktion och luftmotstånd dämpar svängningen: energin blir inre energi och amplituden minskar. Knuffas ett system i takt med sin egenfrekvens tillförs energi vid varje sväng, och amplituden växer kraftigt. Det kallas resonans.

En vikt på 0,50 kg hänger i en fjäder med k = 20 N/m. Perioden är T = 2π · √(0,50 / 20) = 2π · 0,158 ≈ 0,99 s. Frekvensen är f = 1 / T ≈ 1,0 Hz. Dubbelt så stor massa ger en period som är √2 ≈ 1,4 gånger längre.

Källor

1. 16.1 Hooke’s Law: Stress and Strain Revisited (den återförande kraften är F = −k · x), OpenStax College Physics 2e
2. 16.2 Period and Frequency in Oscillations (f = 1 / T, enheten hertz), OpenStax College Physics 2e
3. 16.3 Simple Harmonic Motion (T = 2π · √(m / k), oberoende av amplituden), OpenStax College Physics 2e
4. 16.4 The Simple Pendulum (T = 2π · √(l / g) för små vinklar, oberoende av massan), OpenStax College Physics 2e
5. 16.5 Energy and the Simple Harmonic Oscillator (energin växlar mellan rörelse- och lägesenergi), OpenStax College Physics 2e
6. 16.7 Damped Harmonic Motion (friktion minskar amplituden), OpenStax College Physics 2e
7. 16.8 Forced Oscillations and Resonance (störst utslag när drivfrekvensen är nära egenfrekvensen), OpenStax College Physics 2e
8. Harmonisk oscillator (den återförande kraften är proportionell mot utslaget), Nationalencyklopedin
9. Pendel (periodtiden beror på längden och tyngdaccelerationen), Nationalencyklopedin
10. Dämpning (svängningar avtar med tiden), Nationalencyklopedin
11. Egenfrekvens (frekvensen när ett system får svänga fritt), Nationalencyklopedin
12. Resonans (stora utslag när ett system drivs med sin egenfrekvens), Nationalencyklopedin
13. Harmonisk oscillator, Wikipedia på svenska
14. Ämnesplan i fysik, Gy25, Skolverket