Stående vågor, resonans och akustik

Två vågor blir en stående våg

Vi vill förstå hur en stående våg uppstår på ett rep, och varför vissa punkter aldrig rör sig. Två likadana vågor går åt var sitt håll längs samma rep. Där de möts adderas deras utslag, precis som vid all interferens. Summan ser inte ut att vandra alls. Den kallas en stående våg. Vissa punkter står alltid still: de kallas noder. Mitt emellan två noder svänger repet mest: där finns bukarna. Från nod till nod är det en halv våglängd. Längden på den svängande delen är därför antalet bukar gånger en halv våglängd, som formelkortet visar.

Strängen: L = n · λ / 2

En gitarrsträng sitter fast i båda ändar. Där kan den inte röra sig, så båda ändarna måste vara noder. Därför får bara vissa våglängder plats på strängen. Längden måste vara ett helt antal halva våglängder: L = n · λ / 2. Talet n är antalet bukar. Välj n och se hur våglängden krymper.

Grundton och övertoner

Vågfarten v på strängen beror på hur spänd och hur tung strängen är. Frekvensen får vi ur v = f · λ, med λ = 2L / n. Det ger formeln f = n · v / (2L). Den lägsta frekvensen, med n = 1, kallas grundtonen. Tonerna med n = 2, 3 och så vidare kallas övertoner. Alla är heltalsmultiplar av grundtonen.

Ljud är en tryckvåg

Ljud är en longitudinell våg: luften svänger fram och tillbaka längs vågens riktning. Då bildas förtätningar med högt tryck och förtunningar med lågt tryck. Ljudets fart i luft är 343 m/s vid 20 °C. I varmare luft går ljudet något fortare. Våglängden får vi ur v = f · λ. Ändra frekvensen och se hur våglängden ändras.

Rör som är öppna i båda ändar

I en flöjt eller en orgelpipa är det luften i röret som svänger. Vid en öppen ände kan luften röra sig fritt, så där blir det en buk. Ett rör som är öppet i båda ändar har alltså bukar i båda ändarna. Mellan dem ryms ett helt antal halva våglängder. Därför gäller samma formel som för strängen: f = n · v / (2L).

Rör som är slutna i ena änden

Vid en sluten ände kan luften inte röra sig. Där blir det en nod. Vid den öppna änden blir det en buk. Från nod till buk är det en kvarts våglängd, så för grundtonen gäller L = λ / 4. Bara udda n ger en nod i ena änden och en buk i den andra. Det ger f = n · v / (4L) med n = 1, 3, 5 och så vidare.

Resonans

Allt som kan svänga har egna frekvenser, så kallade egenfrekvenser. Drivs det med en egenfrekvens växer svängningen för varje knuff. Det kallas resonans. En gitarrs kropp resonerar med strängen och gör tonen starkare. Ett vinglas kan spricka om någon sjunger glasets egenfrekvens tillräckligt starkt. Dra i reglaget och leta upp strängens resonanser.

Ljudnivå i decibel

Ljudets intensitet I är effekten per kvadratmeter, i W/m². Örat hör allt från 10⁻¹² W/m² till mer än 1 W/m². Därför använder vi en logaritmisk skala: ljudnivån L = 10 · lg(I / I₀), i decibel. Tiologaritmen lg ger exponenten, till exempel lg 1 000 = 3. Här är I₀ = 10⁻¹² W/m², hörtröskeln. Varje ökning med 10 dB betyder tio gånger större intensitet. Två lika starka källor ger dubbla intensiteten, alltså 3 dB mer.

Hörselskador

Starkt ljud kan skada hårcellerna i innerörat. Skadade hårceller läker inte, så skadan blir bestående. Risken beror både på ljudnivån och på hur länge du lyssnar. En vanlig gräns är 85 dB under en arbetsdag på 8 timmar. Varje ökning med 3 dB fördubblar intensiteten. Då halveras tiden du tål, enligt en vanlig tumregel.

Dopplereffekten

När en ljudkälla rör sig mot dig trängs vågfronterna ihop framför den. Då når fler vågtoppar ditt öra per sekund, och tonen låter högre. Bakom källan glesas fronterna ut, och tonen låter lägre. Om du står still och källan närmar sig gäller f′ = f · v / (v − vₛ). För en källa som avlägsnar sig byter du minustecknet mot ett plustecken. Öka farten och jämför tonen framför och bakom.

Sammanfattning

Två likadana vågor som går åt var sitt håll bildar en stående våg. Noderna står still, och bukarna svänger mest. Två noder i rad ligger λ / 2 från varandra. En sträng som sitter fast i båda ändar har noder i ändarna, så L = n · λ / 2 och f = n · v / (2L).

Ljud är en longitudinell tryckvåg, med farten 343 m/s i luft vid 20 °C. Ett rör som är öppet i båda ändar har bukar i ändarna och följer samma formel som strängen. Ett rör som är slutet i ena änden har en nod där, så f = n · v / (4L) med bara udda n.

Allt som kan svänga har egenfrekvenser. Drivs det med en egenfrekvens växer svängningen: det kallas resonans. Instrument använder resonans för att förstärka tonen, men broar och maskiner måste konstrueras så att de inte hamnar i resonans.

Ljudnivån i decibel är L = 10 · lg(I / I₀), där I₀ = 10⁻¹² W/m². 10 dB mer är tio gånger större intensitet, och två lika starka källor ger 3 dB mer. Över 85 dB under en arbetsdag finns risk för bestående hörselskador.

En källa som närmar sig trycker ihop vågfronterna framför sig, så tonen blir högre. För en lyssnare som står still gäller f′ = f · v / (v − vₛ). När källan avlägsnar sig blir tecknet plus, och tonen blir lägre. Det är dopplereffekten.

Ett rör som är slutet i ena änden är 0,40 m långt. Grundtonen har L = λ / 4, så λ = 1,60 m och f = 343 / 1,60 ≈ 214 Hz. Nästa ton har n = 3: f ≈ 643 Hz.

Källor

1. 16.10 Superposition and Interference (två motriktade vågor bildar en stående våg med noder och bukar), OpenStax College Physics 2e
2. 16.8 Forced Oscillations and Resonance (störst utslag vid egenfrekvensen, vinglaset, Millennium Bridge), OpenStax College Physics 2e
3. 17.2 Speed of Sound, Frequency, and Wavelength (v = f · λ, 331 m/s vid 0 °C och 343 m/s vid 20 °C), OpenStax College Physics 2e
4. 17.3 Sound Intensity and Sound Level (decibelskalan, 10 dB mer är tio gånger intensiteten, 85 dB högst 8 h per dag), OpenStax College Physics 2e
5. 17.4 Doppler Effect and Sonic Booms (f′ = f · v / (v ∓ vₛ) för en källa i rörelse), OpenStax College Physics 2e
6. 17.5 Sound Interference and Resonance (öppna och slutna rör, grundton och övertoner), OpenStax College Physics 2e
7. Stående våg (noder och bukar), Nationalencyklopedin
8. Resonans (stora svängningar när drivfrekvensen är lika med egenfrekvensen), Nationalencyklopedin
9. Överton (toner vars frekvenser är multiplar av grundtonens), Nationalencyklopedin
10. Decibel (logaritmisk enhet för ljudnivå), Nationalencyklopedin
11. Dopplereffekten (frekvensändring när källan rör sig), Nationalencyklopedin
12. Fördjupning om buller och ljud (två lika starka källor ger 3 dB mer, tio källor 10 dB mer), Arbetsmiljöverket
13. Risker med buller (starkt ljud skadar hårcellerna i innerörat, tinnitus), Arbetsmiljöverket
14. Stående våg, Wikipedia på svenska
15. Dopplereffekt, Wikipedia på svenska
16. Ämnesplan i fysik, Gy25, Skolverket